حل کار در کلاس و تمرین صفحه 10 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: در این تمرین، مجموعه‌هایی که با قواعد ریاضی تعریف شده‌اند را با نوشتن اعضایشان نمایش می‌دهیم. **الف) مجموعه‌ی عددهای صحیح فرد:** اعداد صحیح فرد شامل تمام اعداد صحیح (مثبت، منفی و صفر) هستند که بر ۲ بخش‌پذیر نباشند. این یک مجموعه‌ی نامتناهی است: $ F = \{..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...\} $ **ب) $A = \{x | x \in \mathbb{Z}, -۵ \leq x < ۵\}$:** این مجموعه شامل تمام **اعداد صحیح** ($ \mathbb{Z} $) است که از **-۵ (شامل خود -۵)** شروع شده و تا **قبل از ۵** ادامه دارند. اعضای این مجموعه عبارتند از: $ A = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} $ **ج) $B = \{۳k+۲ | k \in \mathbb{Z}\}$:** این مجموعه شامل اعدادی است که از فرمول $۳k+۲$ به دست می‌آیند، به شرطی که $k$ یک عدد صحیح باشد. با قرار دادن مقادیر مختلف برای $k$ می‌توانیم الگوی اعداد را پیدا کنیم: * اگر $k=0$ باشد، $3(0)+2=2$ * اگر $k=1$ باشد، $3(1)+2=5$ * اگر $k=2$ باشد، $3(2)+2=8$ * اگر $k=-1$ باشد، $3(-1)+2=-1$ * اگر $k=-2$ باشد، $3(-2)+2=-4$ این مجموعه شامل تمام اعدادی است که تقسیم آنها بر ۳، باقیمانده‌ی ۲ دارد: $ B = \{..., -4, -1, 2, 5, 8, ...\} $

پاسخ تشریحی: برای مقایسه، ابتدا باید اعضای هر یک از مجموعه‌های B، C و D را با استفاده از اعضای مجموعه‌ی A مشخص کنیم. **مجموعه‌ی A:** $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ **۱. تعیین اعضای مجموعه‌ی B:** شرط: $x \in A$ و $x^2 \leq 2$ * $x=-2 \Rightarrow (-2)^2 = 4 \not\leq 2$ * $x=-1 \Rightarrow (-1)^2 = 1 \leq 2$ (قابل قبول) * $x=0 \Rightarrow (0)^2 = 0 \leq 2$ (قابل قبول) * $x=1 \Rightarrow (1)^2 = 1 \leq 2$ (قابل قبول) * $x=2 \Rightarrow (2)^2 = 4 \not\leq 2$ پس: $B = \{-1, 0, 1\}$ **۲. تعیین اعضای مجموعه‌ی C:** شرط: $x \in A$ و $-1 \leq x \leq 1$ اعضای A که در این بازه قرار دارند عبارتند از -۱, ۰, ۱. پس: $C = \{-1, 0, 1\}$ **۳. تعیین اعضای مجموعه‌ی D:** شرط: $x \in A$ و $x^2 = 1$ * $x=-1 \Rightarrow (-1)^2 = 1$ (قابل قبول) * $x=1 \Rightarrow (1)^2 = 1$ (قابل قبول) سایر اعضای A در این شرط صدق نمی‌کنند. پس: $D = \{-1, 1\}$ **۴. مقایسه:** با توجه به اعضای به دست آمده: $B = \{-1, 0, 1\}$ $C = \{-1, 0, 1\}$ $D = \{-1, 1\}$ نتیجه می‌گیریم که **مجموعه‌های B و C با هم برابر هستند** ($B=C$).

پاسخ تشریحی: بله، می‌توان نتیجه گرفت که $A \subseteq C$ است. این ویژگی، **خاصیت تعدی (Transitive Property)** در روابط زیرمجموعه‌ها نام دارد. **اثبات با یک مثال:** بیایید سه مجموعه بسازیم که در شرایط گفته شده صدق کنند: * فرض کنیم $A = \{5, 10\}$ * برای اینکه $A \subseteq B$ باشد، B باید تمام اعضای A را داشته باشد. پس فرض کنیم $B = \{5, 10, 15\}$ * برای اینکه $B \subseteq C$ باشد، C باید تمام اعضای B را داشته باشد. پس فرض کنیم $C = \{5, 10, 15, 20\}$ حالا بررسی می‌کنیم که آیا $A \subseteq C$ است؟ مجموعه‌ی A دارای اعضای $ \{5, 10\} $ است. مجموعه‌ی C دارای اعضای $ \{5, 10, 15, 20\} $ است. چون تمام اعضای A در C نیز وجود دارند، نتیجه می‌گیریم که $A \subseteq C$ برقرار است. **توضیح کلی:** * وقتی می‌گوییم $A \subseteq B$ یعنی هر عضوی که در A باشد، حتماً در B هم هست. * وقتی می‌گوییم $B \subseteq C$ یعنی هر عضوی که در B باشد، حتماً در C هم هست. * از ترکیب این دو نتیجه می‌شود که هر عضوی که در A باشد، چون در B هم هست، پس الزاماً در C نیز خواهد بود. بنابراین همواره $A \subseteq C$ است.

پاسخ تشریحی: برای نوشتن تمام زیرمجموعه‌ها، ابتدا باید اعضای اصلی هر مجموعه را مشخص کنیم. **الف) مجموعه‌ی A:** ابتدا معادله‌ی $2x+1=3$ را برای $x \in \mathbb{N}$ (اعداد طبیعی: $ \{1, 2, 3, ...\} $) حل می‌کنیم: $2x = 3 - 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ چون $x=1$ یک عدد طبیعی است، پس مجموعه‌ی A فقط یک عضو دارد: $A = \{1\}$. یک مجموعه‌ی تک‌عضوی ($n=1$)، تعداد $2^1 = 2$ زیرمجموعه دارد: * **زیرمجموعه‌ها:** $ \emptyset, \{1\} $ **ب) مجموعه‌ی B:** اعضای این مجموعه با قرار دادن مقادیر داده شده برای $x$ در عبارت $2x$ به دست می‌آیند: * اگر $x=0 \Rightarrow 2x = 2(0) = 0$ * اگر $x=2 \Rightarrow 2x = 2(2) = 4$ * اگر $x=3 \Rightarrow 2x = 2(3) = 6$ پس مجموعه‌ی $B = \{0, 4, 6\}$ است. این مجموعه ۳ عضو دارد ($n=3$)، پس تعداد $2^3 = 8$ زیرمجموعه دارد: * **زیرمجموعه‌ی ۰ عضوی:** $ \emptyset $ * **زیرمجموعه‌های ۱ عضوی:** $ \{0\}, \{4\}, \{6\} $ * **زیرمجموعه‌های ۲ عضوی:** $ \{0, 4\}, \{0, 6\}, \{4, 6\} $ * **زیرمجموعه‌ی ۳ عضوی:** $ \{0, 4, 6\} $

پاسخ تشریحی: **پاسخ سوال ۴:** نمودار، نحوه‌ی قرارگیری مجموعه‌های اعداد درون یکدیگر را نشان می‌دهد. نام‌گذاری از کوچکترین (درونی‌ترین) به بزرگترین مجموعه به شرح زیر است: * **بیضی داخلی:** $ \mathbb{N} $ (مجموعه‌ی اعداد طبیعی: $ \{1, 2, 3, ...\} $) * **مستطیل نارنجی:** W (مجموعه‌ی اعداد حسابی: $ \{0, 1, 2, ...\} $) * **مستطیل سبز:** $ \mathbb{Z} $ (مجموعه‌ی اعداد صحیح: $ \{..., -1, 0, 1, ...\} $) * **مستطیل صورتی:** $ \mathbb{Q} $ (مجموعه‌ی اعداد گویا: اعداد کسری) **مقایسه با علامت $ \subseteq $:** چون هر مجموعه کاملاً در دل مجموعه‌ی بعدی قرار دارد، روابط زیر برقرار است: $ \mathbb{N} \subseteq W \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $ **پاسخ سوال ۵:** با توجه به روابط بالا، درستی عبارت‌ها را بررسی می‌کنیم: **الف) هر عدد گویا عددی حسابی است. (نادرست)** * **دلیل:** این عبارت معادل $ \mathbb{Q} \subseteq W $ است که صحیح نیست. برای مثال، عدد $ \frac{1}{2} $ گویا است ولی حسابی نیست. **ب) هر عدد حسابی عددی گویا است. (درست)** * **دلیل:** این عبارت معادل $ W \subseteq \mathbb{Q} $ است. هر عدد حسابی $w$ را می‌توان به صورت کسر $ \frac{w}{1} $ نوشت، پس گویا است. **ج) هر عدد صحیح عددی گویا است. (درست)** * **دلیل:** این عبارت معادل $ \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $ است. هر عدد صحیح $z$ را می‌توان به صورت کسر $ \frac{z}{1} $ نوشت، پس گویا است. **د) بعضی از عددهای گویا، عدد صحیح‌اند. (درست)** * **دلیل:** این یعنی مجموعه‌ی اعداد صحیح با مجموعه‌ی اعداد گویا اشتراک دارد ولی با آن برابر نیست. برای مثال، عدد گویا $ \frac{8}{2} $ برابر با عدد صحیح ۴ است.